I giochi matematici di guidox

[aironenero]

Ma come arrivi dalla sommatoria a quella espressione?
EDIT: Ah capito, sisisi ci sono, figo :3
Alla fine è quello che ho fatto io, ma io non avevo pensato a considerare la carta sotto e toglierla dopo

Boh io ho finito il primo liceo scientifico ma di quelle formule non ci ho capito una mazza...

[Sla]

Se segui il mio ragionamento arrivi a capire che il piano i-esimo è formato da 3*i carte (vale a dire, se considero il quarto piano, i = 4, pertanto per costruire il quarto piano servono 3*4 carte, 12).

Voglio una formula generica che mi dica quante carte servono per costruire un castello con N piani.
Questo numero è ovviamente:
carte per il primo piano + carte per il secondo piano + carte per il terzo + ... + carte per l'N-esimo piano.
Vale a dire:
3*1 + 3*2 + 3*3 + ... + 3*N.
Raccogliendo il fattore comune 3:
3*(1 + 2 + 3 + ... + N)
L'espressione tra parentesi è una somma parziale di una serie numerica.
Le serie numeriche vanno avanti all'infinito, quella in questione è 1+2+3+4+5+6.... fino a +∞, e ovviamente la serie diverge (cioè il suo risultato non è un numero finito, ma infinito).
Tuttavia a noi interessa troncarla fino a N (=somma parziale).

L'espressione per calcolare tale somma parziale è:
N( N + 1 ) / 2
Lo si dimostra per induzione.
1) Si presuppone che valga per N, e si dimostra che, sotto tale condizione, vale anche per N+1.
Chiamiamo M il nuovo indice, M = N+1. Dobbiamo dimostrare che la somma parziale fino a N+1 equivale a M(M+1)/2
in questo caso per M la somma parziale dovrebbe valere (1+2+3+4....+N+N+1), quindi: N( N + 1 ) / 2 + N+1 ( dove abbiamo fatto uso della supposizione che l'espressione N( N + 1) / 2 = (1+2+3+4+...+N) sia vera )
Minimo comune multiplo: (N(N+1) + 2N + 2) / 2, e si arriva finalmente a (N(N+3) + 2) / 2 = (N^2 + 3N + 2)/2
Verifichiamo che tale espressione coincida con M(M+1)/2. Sostituisco N+1 a M, ottengo (N+1)(N+2)/2 = (N^2+2N+N+2)/2 = (N^2 + 3N + 2) / 2, come volevamo dimostrare.
2) Si dimostra che vale per N = 1.
Sostituiamo 1 a N in N(N+1)/2 e ci aspettiamo di ottenere 1 (che è la somma parziale limitata a 1).
1(1+1)/2 = 1(2)/2 = 1.

Tiriamo le somme:
a)Sappiamo che se la formula vale per N allora vale anche per N+1.
b)Sappiamo inoltre che effettivamente vale per N=1.
Quindi per il punto a) se vale per N = 1, vale anche per N = 2.
Di nuovo per il punto a), se vale per N = 2, vale anche per N = 3, e così via all'infinito.

Riprendendo il calcolo, 3*(1 + 2 + 3 + ... + N) può finalmente essere riscritto in una forma chiusa:
3*( N(N+1)/2 ).

Questo è il ragionamento di guidox che frequenta la terza liceo, continua così

[aironenero]

Se segui il mio ragionamento arrivi a capire che il piano i-esimo è formato da 3*i carte (vale a dire, se considero il quarto piano, i = 4, pertanto per costruire il quarto piano servono 3*4 carte, 12).

Voglio una formula generica che mi dica quante carte servono per costruire un castello con N piani.
Questo numero è ovviamente:
carte per il primo piano + carte per il secondo piano + carte per il terzo + ... + carte per l'N-esimo piano.
Vale a dire:
3*1 + 3*2 + 3*3 + ... + 3*N.
Raccogliendo il fattore comune 3:
3*(1 + 2 + 3 + ... + N)
L'espressione tra parentesi è una somma parziale di una serie numerica.
Le serie numeriche vanno avanti all'infinito, quella in questione è 1+2+3+4+5+6.... fino a +∞, e ovviamente la serie diverge (cioè il suo risultato non è un numero finito, ma infinito).
Tuttavia a noi interessa troncarla fino a N (=somma parziale).

ok fin qui ci sono è abbastanza semplice...

L'espressione per calcolare tale somma parziale è:
N( N + 1 ) / 2
Lo si dimostra per induzione.
1) Si presuppone che valga per N, e si dimostra che, sotto tale condizione, vale anche per N+1.
Chiamiamo M il nuovo indice, M = N+1. Dobbiamo dimostrare che la somma parziale fino a N+1 equivale a M(M+1)/2
in questo caso per M la somma parziale dovrebbe valere (1+2+3+4....+N+N+1), quindi: N( N + 1 ) / 2 + N+1 ( dove abbiamo fatto uso della supposizione che l'espressione N( N + 1) / 2 = (1+2+3+4+...+N) sia vera )
Minimo comune multiplo: (N(N+1) + 2N + 2) / 2, e si arriva finalmente a (N(N+3) + 2) / 2 = (N^2 + 3N + 2)/2
Verifichiamo che tale espressione coincida con M(M+1)/2. Sostituisco N+1 a M, ottengo (N+1)(N+2)/2 = (N^2+2N+N+2)/2 = (N^2 + 3N + 2) / 2, come volevamo dimostrare.
2) Si dimostra che vale per N = 1.
Sostituiamo 1 a N in N(N+1)/2 e ci aspettiamo di ottenere 1 (che è la somma parziale limitata a 1).
1(1+1)/2 = 1(2)/2 = 1.

Tiriamo le somme:
a)Sappiamo che se la formula vale per N allora vale anche per N+1.
b)Sappiamo inoltre che effettivamente vale per N=1.
Quindi per il punto a) se vale per N = 1, vale anche per N = 2.
Di nuovo per il punto a), se vale per N = 2, vale anche per N = 3, e così via all'infinito.

Riprendendo il calcolo, 3*(1 + 2 + 3 + ... + N) può finalmente essere riscritto in una forma chiusa:
3*( N(N+1)/2 ).

Questo è il ragionamento di guidox che frequenta la terza liceo, continua così

adesso non ci arrivo più... perchè N(N+1)/2? e che è sta forma chiusa?

[Sla]

Nella prima parte del secondo quote ho dimostrato proprio

perchè N(N+1)/2

cioè dimostrato che N(N+1)/2 = 1+2+3+4+5+...+N vale per qualunque N.

L'espressione 3*(1+2+3+4+5+...+N) è una forma aperta perché ne devi riscrivere una ogni volta che la vuoi calcolare su un N diverso.
Per esempio, vuoi sapere quante carte ti servono per 10 piani? Te la devi riscrivere:
3*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10).

3*(N(N+1)/2) è una forma chiusa: per 10 piani? sostituisco 10 a N e ho il numero.

[ball-man_3000]

sla, hai fatto un post enorme per spiegare una cosa che secondo me non ne ha tanto bisogno, dal momento che basta eseguire il calcolo e meditarci 5 minuti sopra per capire tutto. questo è il ragionamento di guidox che fa la 3a liceo, e questo è ok, ma non è quel tipo di ragionamento che lo rende un genio XD. in 3a mi sembra una cosa abbastanza semplice, infatti, dubito che lui ci abbia perso troppo tempo
comunque, complimenti per la formula chiusa , quando sono aperte non le posso sopportare :/, e sto ancora cercando una formula chiusa per calcolare la potenza di un numero.
N^n= ? e che ca**o, sono io scemo o è troppo complesso?

[Jak]

e sto ancora cercando una formula chiusa per calcolare la potenza di un numero.
N^n= ? e che ca**o, sono io scemo o è troppo complesso?

Credo che sia già in forma chiusa.

[ball-man_3000]

vedila come vuoi, ma io voglio una formula con Moltiplicazioni, Divisioni, Sottrazioni e Addizioni. odio gli esponenti.

[guidox]

Oddio sinceramente conosco solo una persona nella mia classe che saprebbe farlo(e già è tanto).
Comunque la formula N(N+1)/2 l'avevo scoperta da solo, un professo venne in classe e ci chiedette come era possibile trovare la somma dei numeri da 1 a N, ci sono arrivato in 5 minuti...
Il ragionamento nabbo era che se prendi una sequenza di numeri(facciamo una quantità pari per semplicità), es:
1,2,3,4,5,6,7,8
E sommi gli estremi fino ad arrivare al centro 1+8,2+7,3+6,4+5 ottiene sempre come numero 9(N+1). Quindi devi moltiplicare 9(N+1) per 4(N/2), da questo ricavi: N/2*N+1; che scritta meglio è: N(N+1)/2

[jumoonp]

Se segui il mio ragionamento ...

Riprendendo il calcolo, 3*(1 + 2 + 3 + ... + N) può finalmente essere riscritto in una forma chiusa:
3*( N(N+1)/2 ).

in base alla formula che hai scritto, mi calcoli passo passo quanti carte ci vogliono per avere tre piani?

[Sla]

Sostituisci 3 a N nella formula:

[latex]3\frac{N(N+1)}{2} - N[/latex]
ti viene:

[latex]3\frac{3(4)}{2} - 3 = 3 \cdot 6 - 3 = 15[/latex]

[Sla]

Beh? La prossima sfida?

[Paccato]

Avete già postato da tempo, appena vidi che guidox aveva messo il risultato lo abbandonai, quasi senza provare.
Ma i video che prometeo ha postato sul topic di youtube stranamente mi hanno fatto venire in mente qualcosa, qualcosa di diverso con un procedimento diverso...che alla fine si è dimostrato essere questo:

[latex]\frac{3N^2+2}{2} + \frac{N-2}{2}[/latex]

con N che sta ad indicare il numero di piani richiesti, potete verificare se funziona?
Questo dilemma mi ha ricordato la gravità, e l'accelerazione in generale, ho considerato il numero di piani come se fosse il "tempo", il numero di carte necessarie come lo "spazio" e, la "distanza" che c'è in numero carte tra un piano ed il successivo come la velocità con cui le carte aumentano all'aumentare dei piani, ed ho constatato che la "velocità" aumentava sempre di 3 carte per ogni piano, perciò l'accelerazione è di 3 carte/piano^2, la formula per calcolare lo spazio in funzione dell'accelerazione e del tempo sappiamo essere (spazio= accelerazione * tempo^2) / 2 , per il resto ho utilizzato quello che l'inconscio mi ha detto, quindi il procedimento per filo e per segno non lo so, dovete chiedere a lui.
Un giorno farò un programma che pensi al posto mio, già so come dovrà funzionare

EDIT: ringrazio la buon'anima che ha riscritto la mia espressione con LaTex.